日本シリーズ４連勝(04)

【修正版 2019.08.06】

Ａチームの実力がaの確率を計算してみる

今までＡチームの実力がaであるときの４連勝決着確率又は４連勝及び４連敗決着確率を計算してきたが、逆に４戦で決着したときにＡチームの実力がaである確率を計算してみる。ベイズの定理というもので計算できるのだが、ここは地道に計算してみる。

３パターンで考える４連勝決着のときのＡチームの実力

対戦が始まる前は、ＡチームとＢチームの実力が次の３通りのいずれかでどれが一番確からしいかとかは分からず、皆平等だと考える。Ａチームの勝つ確率を $a=0.6,0.5,0.4$ の３通りでそれらの確率は
$$P(a=0.6)=\frac{1}{3}$$ $$P(a=0.5)=\frac{1}{3}$$ $$P(a=0.4)=\frac{1}{3}$$ と考える。この予め仮定した$\frac{1}{3}$の確率のことを事前確率というはずだ。

Ａチームが１勝した後

１戦目でＡが勝ったとき、 $a=0.6,0.5,0.4$ のそれぞれで考える。まず $a=0.6$ のとき勝つ確率は$0.6$だがこれを $$P(A=1|a=0.6)=P(a=0.6)\times a=\frac{1}{3}\times 0.6=\frac{6}{30}$$ こう書く。文章にすると、Ａチームの実力が0.6という条件でＡチームが１勝する確率は、Ａチームの実力が0.6の確率にＡチームが勝つ確率（実力）0.6を掛けた値というふうになる。
続いて $a=0.5,0.4$ のときは、 $$P(A=1|a=0.5)=P(a=0.5)\times a=\frac{1}{3}\times 0.5=\frac{5}{30}$$ $$P(A=1|a=0.4)=P(a=0.4)\times a=\frac{1}{3}\times 0.4=\frac{4}{30}$$ これでＡチームのそれぞれの事前確率のときにＡが勝つ確率が求まった。で、今Ａチームが勝った時、どの実力が原因で勝ったのかの確率は上の確率のままではダメ。それは、３つの場合の確率を計算すると $$\frac{6}{30}+\frac{5}{30}+\frac{4}{30}=\frac{15}{30}$$ で足しても1にならない。確率は全部の事象（おきる事柄）の確率の和は1とするので1となるよう上を調整する。 そうすると、Ａが勝った（この場合１勝した）のは実力がaであったから、つまりＡが勝ったという条件でＡの実力が0.6, 0.5, 0.4のそれぞれについての確率を求めることができる。
それを $P(a=0.6|A=1)$ , $P(a=0.5|A=1)$ , $P(a=0.4|A=1)$ こう書く。このように原因と結果を逆して書く。文章にすると「Ａが勝ったという条件でＡの実力が0.6, 0.5, 0.4である確率」になる。生じた結果から原因の確率を計算するのがベイズ流であるらしい。 $$P(a=0.6|A=1)=\frac{6}{30}\times 2=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$$ $$P(a=0.5|A=1)=\frac{5}{30}\times 2=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$$ $$P(a=0.4|A=1)=\frac{4}{30}\times 2=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$$ となる。 $a=0.5$のときは、１勝後の確率（事後確率）は事前確率のままで変化してない。$a=0.6$のときは勝ったという結果をみて、この仮定は確からしいと思うので事後確率が大きくなり、逆に$a=0.4$のときは、弱いはずはなかったのかと事後確率が小さくなる。このことは、現実にそぐう。ただ、確率の数値については完全に納得できたわけではなく、そんなもんなのかという感想となる。
この段階で整理すると、対戦前に理由不十分（主観）で３通りのＡの実力が平等（仮定）だと言っていた人はＡが１勝したという事実（結果）をもって、上のように主観確率を変えるべきだになる。ではＡの実力を総合的にどう見積るかといえば、平均値（というか重心）をとるのだが確率のときは期待値という $$\text{Ａの実力の期待値（平均値）}=0.6\times \frac{2}{5}+0.5\times \frac{1}{3}+0.4\times \frac{4}{15}\fallingdotseq 0.5133$$ Ａチームがほんの少し強いと考えを変えるべきだ。

Ａチームが２勝した後

同様に、第2戦目の後どうなるか計算する。１勝後の事後確率を２戦目の事前確率として $$P(a=0.6)=\frac{2}{5}$$ $$P(a=0.5)=\frac{1}{3}$$ $$P(a=0.4)=\frac{4}{15}$$ である。Ａが連勝したときの確率は $$P(A=2|a=0.6)=\frac{2}{5}\times \frac{6}{10}=\frac{12}{50}=\frac{36}{150}$$ $$P(A=2|a=0.5)=\frac{1}{3}\times \frac{5}{10}=\frac{5}{30}=\frac{25}{150}$$ $$P(A=2|a=0.4)=\frac{4}{15}\times \frac{4}{10}=\frac{16}{150}$$ 上の確率の合計は$\frac{77}{150}$だから、正規化（総和を１に）して、それぞれの事後確率を求める $$P(a=0.6|A=2)=\frac{36}{150}\times \frac{150}{77}=\frac{36}{77}\fallingdotseq 0.4675$$ $$P(a=0.5|A=2)=\frac{25}{150}\times \frac{150}{77}=\frac{25}{77}\fallingdotseq 0.3247$$ $$P(a=0.4|A=2)=\frac{16}{150}\times \frac{150}{77}=\frac{16}{77}\fallingdotseq 0.2078$$ となる。 ２連勝後はＡチームの実力が$a=0.5$という確率は$\frac{1}{3}$より小さくなる。Ａチームの実力の期待値は $$\text{Ａの実力の期待値}\fallingdotseq 0.6\times 0.4675+0.5\times 0.3247+0.4\times 0.2078=0.52597$$ Ａチームの方がちょっと強いと見積るべきとなる。

Ａチームが３勝した後

続いて、第３戦目の後どうなるか計算する。３戦目の前の事前確率は $$P(a=0.6)\fallingdotseq 0.4675$$ $$P(a=0.5)\fallingdotseq 0.3247$$ $$P(a=0.4)\fallingdotseq 0.2078$$ である。Ａが３連勝したときの確率は $$P(A=3|a=0.6)\fallingdotseq 0.4675\times 0.6=0.2805$$ $$P(A=3|a=0.5)\fallingdotseq 0.3247\times 0.5\fallingdotseq 0.1624$$ $$P(A=3|a=0.4)\fallingdotseq 0.2078\times 0.4\fallingdotseq 0.0831$$ 上の確率の合計0.526で正規化すると $$P(a=0.6|A=3)\fallingdotseq 0.2805÷0.526\fallingdotseq 0.5333$$ $$P(a=0.5|A=3)\fallingdotseq 0.1624÷0.526\fallingdotseq 0.3087$$ $$P(a=0.4|A=3)\fallingdotseq 0.0831÷0.526\fallingdotseq 0.1580$$ ３連勝後はＡチームの実力が$a=0.6$という確率、つまりＡチームの方が強いという確率は、５割を超える。 Ａチームの実力は $$\text{Ａの実力の期待値}\fallingdotseq 0.6\times 0.5333+0.5\times 0.3087+0.4\times 0.1580\fallingdotseq 0.5375$$ このように見積るべきとなる。２連勝後と３連勝後のＡチームの強さの見積はあまり変わらない。
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Ａチームが４勝した後

最後に、第４戦目の後、Ａチームが４連勝で日本シリーズを制したとき、Ａチームの強さをどのように見積るべきかを計算する。４戦目の前の事前確率は $$P(a=0.6)\fallingdotseq 0.5333$$ $$P(a=0.5)\fallingdotseq 0.3087$$ $$P(a=0.4)\fallingdotseq 0.1580$$ である。Ａが４連勝したときの確率は $$P(A=4|a=0.6)\fallingdotseq 0.5333\times 0.6\fallingdotseq 0.3200$$ $$P(A=4|a=0.5)\fallingdotseq 0.3087\times 0.5\fallingdotseq 0.1544$$ $$P(A=4|a=0.4)\fallingdotseq 0.1580\times 0.4\fallingdotseq 0.0632$$ 上の確率の合計0.5376で正規化すると $$P(a=0.6|A=4)\fallingdotseq 0.3200÷0.5376\fallingdotseq 0.5952$$ $$P(a=0.5|A=4)\fallingdotseq 0.1544÷0.5376\fallingdotseq 0.2872$$ $$P(a=0.4|A=4)\fallingdotseq 0.0632÷0.5376\fallingdotseq 0.1176$$ ところで、これら値は前回計算した４連勝決着確率(https://ykdn.blog.so-net.ne.jp/2019-07-28#wariai)と同じ数値になっている。ベイズの定理といっても素人が普通に考えても同じ数値になるのだから難しくはないのだろう。ただ、持って回った言い方をしているので混乱するのではなかろうか。
４連勝後の期待値は、Ａチームの実力は $$\text{Ａの実力の期待値}\fallingdotseq 0.6\times 0.5952+0.5\times 0.2872+0.4\times 0.1176\fallingdotseq 0.5478$$ このように見積るべきとなる。４連勝後のＡチームの強さの見積は、こんなものだ。それは、仮定が３通りだったから。Ａチームが強くても $a=0.6$ と仮定しているのだ当たり前の数値だ。
Ａチームの実力を0～1の連続した値で計算したらどうなるのだろうか。