日本シリーズ４連勝(03)

Ａチームが４連勝したのは何故か？

前回実力差があるときの４連勝決着確率（９パターン）の表を示したが、たとえば今ここにＡチームの４連勝決着例が示されたときＡチームの実力を0.1～0.9として対戦前のＡチームの実力をどのように見積ればいいのだろうか。Ａが勝つ確率が0.1のときは４連勝する確率が0.0001で１万分の１だからそれはありそうにもない。Ａが勝つ確率が0.9のときは４連勝する確率が0.6561で十分にありそうだ。でもＡが勝つ確率が0.9ということ自体ありそうな仮定なのか？極端に言えばＡが勝つ確率が1のときは４連勝する確率が1でこれ以外にない。でもＡが勝つ確率が1ということはあまりに乱暴な仮定ではないか。

３パターンで考える４連勝決着確率

４連勝決着確率（９パターン）では複雑になるので、ＡチームとＢチームの実力を仮に次の３通りのいずれかでどれが一番確からしいかとかは分からず、皆平等だと考える。Ａチームの勝つ確率を $a=0.6,0.5,0.4$ の３通りでそれらの確率は

$$P(a=0.6)=\frac{1}{3}$$

$$P(a=0.5)=\frac{1}{3}$$

$$P(a=0.4)=\frac{1}{3}$$

と考える。この予め仮定した$\frac{1}{3}$の確率のことを事前確率というようだ。
Ａチームが強いと考えれば、 $P(a=0.6)$ のとき事前確率を大きめに、他の確率を小さめにして合計確率を１とする。逆もまたしかり。
３パターンそれぞれでＡの４連勝で決着する確率を計算してみる。 $a=0.6$ のとき（という条件で）Ａが４連勝する確率は$0.1296$である。条件付確率というそうだ。これを数式で下のように表す。 $$P(A=4|a=0.6)=0.1296$$ 同様に $a=0.5,0.4$ は $$P(A=4|a=0.5)=0.0625$$ $$P(A=4|a=0.4)=0.0256$$ 当然Ａチームの方が強ければ４連勝となる確率も高くなるのだが、その確率は他の場合と比べてどの位なのかを調べたい。４連勝となる確率の比を取ってみる。 $$\frac{P(A=4|a=0.6)}{P(A=4|a=0.5)}=\frac{0.1296}{0.0625}=2.0736$$ $$\frac{P(A=4|a=0.6)}{P(A=4|a=0.4)}=\frac{0.1296}{0.0256}=5.0625$$ $$\frac{P(A=4|a=0.5)}{P(A=4|a=0.4)}=\frac{0.0625}{0.0256}\fallingdotseq 2.4414$$ Ａチームが強いとき $a=0.6$ は五分五分のときと比べ４連勝する確率は$2.0736$倍大きくなる。だからどうしたということになるのだけれども、２倍くらいじゃ、絶対Ａチームの方が強いとは言えず、多分Ａチームの方が強いのじゃないだろうかなぁ？多分ネッ？てなもんだ。この割り算したときの比のことを尤度比というのかと思ったけれどそうではない。単に確率の比をとっただけ。
もうちょい計算してみる。

割合を調べてみる。

$$\begin{array}{lll}\mathrm{P3}& =& P(A=4|a=0.6)+P(A=4|a=0.5)+P(A=4|a=0.4)\\ & =& 0.2177\end{array}$$ $$\frac{P(A=4|a=0.6)}{\mathrm{P3}}=\frac{0.1296}{0.2177}\fallingdotseq 0.5953$$ $$\frac{P(A=4|a=0.5)}{\mathrm{P3}}=\frac{0.0625}{0.2177}\fallingdotseq 0.2871$$ $$\frac{P(A=4|a=0.4)}{\mathrm{P3}}=\frac{0.0256}{0.2177}\fallingdotseq 0.1176$$ で、この値は何だ？３通りの実力仮定では$a=0.6$のときの確率が$0.5953$となるということか？何か変だ。素人は無駄なことばかりしているような気がする。
もっと考えてみる。