日本シリーズ４連勝(02)

実力差があるときの４連勝決着確率（２パターン）

日本シリーズが４連勝で終わったとしても両者に実力差がなく運が良かった（悪かった）だけという確率は、0.125だと計算されたが。実力差があったとしたら４戦で決着が付く確率はどうなるのだろうか。
$a=0.6$, $b=0.4$ で計算してみる。
Ａが４連勝するということを、Ａが４勝でＢが０勝で $P(A=4,B=0)$ と表してその確率は、
$P(A=4,B=0)=a^4={0.6}^4=0.1296$
Ａが４連敗の場合は、
$P(A=0,B=4)=b^4={0.4}^4=0.0256$
だから
$P(A=4,B=0)+P(A=0,B=4)=0.1296+0.0256=0.1552$
当たり前だが、実力差があれば４連勝で日本シリーズが終わる確率は0.1552で実力互角のときの0.125より大きくなる。

実力差があるときの４連勝決着確率（９パターン）

Ａの実力（勝つ確率）とＡが４連勝又は４連敗する確率は下表のとおり

Ａが勝つ 確率	Ａが４連勝する 確率	Ａが４連敗する 確率	４戦で決着が付く 確率
0.1	0.00010	0.6561	0.6562
0.2	0.00160	0.4096	0.4112
0.3	0.00810	0.2401	0.2482
0.4	0.02560	0.1296	0.1552
0.5	0.06250	0.0625	0.1250
0.6	0.12960	0.0256	0.1552
0.7	0.24010	0.0081	0.2482
0.8	0.40960	0.0016	0.4112
0.9	0.65610	0.0001	0.6562

流石に、勝つ確率が0.4だと弱い方が４連勝する確率は0.0256とかなり難しくなる。
ただ、実力が９：１と圧倒的に差があっても４連勝する確率は0.6561と圧倒的とはいえず、あまり高いとは言えない。

日本シリーズ４連勝(01)

意外と少ない４連勝決着回数

プロ野球の日本シリーズが４連勝で決着した場合、両チームの実力差はどの位あったのだろうか。
実力差がなくても４連勝で決着することは珍しくはないことを確かめた。
Ａチームの実力を $a$ 、Ｂチームの実力を $b$、 $a+b=1$ とする。
実力が $a=0.9$ , $b=0.1$ ならＡがＢに勝つ確率は0.9とする。互角なら $a=b=0.5$
７番勝負で第４戦までの勝敗は下記の16種類。Ａチームから見て勝ちが〇、負けが●。

〇〇〇〇

〇〇〇●

〇〇●〇

〇〇●●

〇●〇〇

〇●〇●

〇●●〇

〇●●●

●〇〇〇

●〇〇●

●〇●〇

●〇●●

●●〇〇

●●〇●

●●●〇

●●●●

実力が互角ならどちらかが４連勝する確率は16分の2で0.125となる。
４連勝で勝負が着いたとしても、実力は互角でたまたま一方のチームが運が良かったからだと考えても悪くはない。４連勝で勝負がつく確率は0.125だから８回に１回はこんなことが起こる。
2018年までに69回日本シリーズが行われ、そのうち5回が４連勝で決着がついた。

年	勝利	戦績	敗北
1959年	南海	〇〇〇〇	巨人
1960年	大洋	〇〇〇〇	大毎
1990年	西武	〇〇〇〇	西武
2002年	巨人	〇〇〇〇	巨人
2005年	ロッテ	〇〇〇〇	阪神

互角でも69回もやると69÷8≒8.6回は４連勝で決着がついても不思議ではない。５回しかないのは少なくないか。互角ではなく $a=0.6$ , $b=0.4$ とか実力差があれば、もっと４連勝で決着がつくことが多いと期待される。これはいったいどういうわけだ。互角以上に互角？と意味不明な表現になってしまう。
連勝した時点で気が緩むとか連敗すると燃え上がるとかがあると考えるべきだろうか。

４連勝決着回数の確率分布

両チームに実力差がないと仮定すると、69回の日本シリーズが４連勝で片付く回数の期待値は8.6回である。実力差があれば、もっと４連勝で決着する回数が多いはず。なのに日本シリーズが４連勝で片が付いたことが69回中５回は有意に少ないのではないか。
こういう疑問があるときは、４連勝決着回数の確率分布を調べてみるとよい。
ベルヌーイ試行、二項分布が利用できる。どちらかが４連勝する確率を0.125とし、69回の試行で $k$ 回４連勝が出現する確率は
$\mathrm{P(4連勝出現数)}={}_{\mathrm{69}}C_k{0.125}^k{(1-0.25)}^{69-k}$
だから、下表のとおりである。

４連勝出現数	出現確率
2	0.00477
3	0.01522
4	0.03589
5	0.06665
6	0.10156
7	0.13057
8	0.14456
9	0.13997
10	0.11998
11	0.09193
12	0.06348
13	0.03976
14	0.02272
15	0.01190
16	0.00574

実力互角で４連勝で片が付いたことが69回中５回ある確率は0.06665で、これは統計学で使われる甘めの有意水準0.05より大きい。有意水準0.05は20回に１回しか起こらない事象は珍しいとして良いよねという認識を共有しているということ。だから両チーム実力互角で日本シリーズ４連勝については、別に珍しくもないことで、油断とか開き直りとか実力を増減させる何か特別な要因があるという仮定を積極的に考える必要はないという認識を持つべきとなる。
科学データでは、有意水準0.01の方を使って判断する方が広く使われているようで（100回に１回なら相当珍しいという認識）それに従えば、４連勝の出現回数が２回以下のときは、油断とか開き直りとか実力を増減させる何か特別な要因があるということを検討すべきであり、逆に16回以上起きたら両チームの実力に差があるということを検討すべきとなる。
実力互角の両者が戦って４連勝で決着つくことが過去69回中５回起きる確率は0.06665だから、1÷0.06665≒15で、野球、相撲、バスケ、将棋等７番勝負が15種目あれば１種目位は、４連勝で片が付いたことが過去69回中５回あっても良いと考えられる。

４連勝決着が少なくなる理由（仮説）を考えてみた。負けたチームが対抗措置をとるので一方的とはならない。勝手いるチームは相手がどのような対抗策を取るのか絞り切れないので負けたチームの対抗策が有効になることが多い。